La scomposizione dei vettori

Un vettore si dice scomposto lungo due assi, se si trovano due vettori, giacenti su tali assi, che sommati fra di loro diano come risultato il vettore di partenza.

Ogni vettore v si può scomporre univocamente nelle sue due proiezioni v_x e v_y lungo gli assi cartesiani x e y. Ecco come:

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine O e scegliamo un vettore v. 

Si possono determinare le componenti del vettore v lungo i due assi come nella figura, proiettando il vettore sugli assi e ottenendo i vettori vx e vy.

Il vettore v_x è la proiezione di a lungo l'asse x e analogamente il vettore v_y proiezione di v lungo l'asse y.

Si vede immediatamente (regola del parallelogramma, che in questo caso è un rettangolo) che    vx + vy = v

Si può dimostrare ( e lo faremo più avanti, utilizzando le proprietà dei triangoli simili) che 

si ottengono esattamente le componenti del vettore v con le seguenti formule trigonometriche (e qui serve una calcolatrice scientifica):

v_x = v cos θ

v_y = v sen θ

e adesso guardate questo video

Nella foto abbiamo tre Candiani simili.... e anche nel suo caso, come nel caso di triangoli rettangoli con lo stesso angolo alfa, il rapporto fra dimensioni corrispondenti rimane il medesimo, perché si tratta di figure simili, cioè che sono un fedele "ingrandimento".

E allora il rapporto fra lunghezza del braccio e della mano nei tre Candiani è sempre il medesimo, così come, per un certo angolo alfa, è sempre il medesimo il rapporto fra il cateto opposto ad alfa e l'ipotenusa.... e questo rapporto, visto che dipende solo da alfa e non dalle dimensioni del triangolo, lo chiamiamo seno di alfa.

I triangoli OAB,   OA'B'    OA''B''     sono rettangoli e sono simili (hanno gli stessi angoli, perché α è in comune, un angolo è retto e quindi anche il terzo angolo in B è sempre lo stesso in B'   e   B''.

Ma allora, per il teorema di Talete, il rapporto fra dimensioni corrispondenti in figure simili rimane costante e quindi fissato alfa, il rapporto AB/OB è uguale a  A'B'/OB' è uguale a A''B''/OB'' .....

... ma allora, per un certo angolo α, a questo numero che è il rapporto fra il cateto opposto e l'ipotenusa diamo il nome di senα